2020年05月27日

電流のエネルギーは電線の外を流れる

要約

電磁気学に関する次のような基本的疑問を提示する。それに関して、私の文献調査と、自分自身の考察により解答を与えた。その疑問とは以下のようなものである。

1.電流の速さとはなにか?どのくらいの大きさか?
2.電流のエネルギーはどこを通って運ばれるか?導線中か?空間か?
3.電流が流れている導線は中性か、帯電しているか?

松田の解答

1.電子の速度はドリフト速度。しかし電流の速度は光速とするのが適切。
2.電流のエネルギーは空間を通って運ばれる。
3.帯電している。

 

始めに

「あいんしゅたいん」は2010年5月30日から5回にわたり、小学生を対象とした親子理科実験教室を開いた。そのテーマは電気であった。そこでは電流を説明するために、水流モデルを使った。このモデルは、学校教育でよく使われているのだが、疑問もある。つまり電流と水流を同一視した場合、水の分子が電子に相当するわけであるが、水流は結構速い。一方、導線中の電子の速度はドリフト速度といってカタツムリの速度以下である。とすれば、水ではなく、水飴を使うのが適当ではないか?
またこのモデルでは、電流の速度は水流の速度に等しいようにも思える。しかしパイプにあらかじめ水を満たしていた場合、蛇口をひねると「即座」に水は流れ、出口からは即座に水が出てくるように見える。つまり水はいわばトコロテン式におしだされ、この場合の速度は、一見無限大である。しかし厳密に考えると、もしトコロテン方式が正しいとすると、速度は水中を伝わる音速(1500m/s)の程度であるはずだ。
そうだとすると、このアナロジーでは電流の速度は音速と言うことになる。電流に焼き直すと、導線中の電子の粗密波の速度と言うことになる。それは電子のフェルミ速度と呼ばれる早さの程度で、光速の1%程度になる。
また水流のアナロジーでは、空間中を満たす電磁場という概念が全く説明できない。私は電磁気の問題は、電磁場こそ本質だと考えるので、水流のアナロジーはそれを説明できない。また後で説明するように、電流の速度はほぼ光速だと考えるので、このことも説明できない。電流のエネルギーは導線ではなく、空間を伝わると考えるのでこの点も説明できない。つまり電流の水流モデルは、生徒に誤解を生むだけではないだろうか?とはいえ、小学生に電磁場の説明をするのは困難である。
私の結論として、水流モデルを使うのは結構だが、それには限界があると言うことを十分に知った上で使うべきだと言うことだ。

電流の水流モデルに関してはWikipediaに詳細な解説がある。

Hydraulic analogy

そのなかのLimits to the analogyにこう書いてある。私が先に述べたことと同じである。

Electrons can push or pull other distant electrons via their fields, while water molecules experience forces only from direct contact with other molecules. For this reason, waves in water travel at the speed of sound, but waves in a sea of charge will travel much faster as the forces from one electron are applied to many distant electrons and not to only the neighbors in direct contact. In a hydraulic transmission line, the energy flows as mechanical waves through the water, but in an electric transmission line the energy flows as fields in the space surrounding the wires, and does not flow inside the metal. Also, an accelerating electron will drag its neighbors along while attracting them, both because of magnetic forces. (太字の強調は松田による)

 

1,2の疑問に対する議論

電流の速さとはなにか?どのくらいの大きさか?

導線中の電子の速度はドリフト速度といって、1アンペア程度の電流が、1mm径のの電線を流れる場合、0.1mm/s程度である。このことは原の教科書*に書枯れているし、他の多くの教科書にも書かれている。しかし、直流であれ、交流であれ、電灯のスイッチをひねると、即座に電灯は点灯する。ということは電流の速度はもっと速いということだ。その速度は光速(かそれに近い)はずである。そのことは、原の教科書に書いてあるし、他の文献にも書いてある。ところが、多くの教科書にはそれがなぜかということは書かれていない。そのことは、2の問題と関連する。

* 電磁気学(1) 原康夫著、裳華房

電流のエネルギーはどこを通って運ばれるか?導線中か?空間か?
電流のエネルギーはどこを通って運ばれるか?幾人かの人と話してみると、それは電線の中だという答えが返ってくる。それは直感的な洞察、思い込みに基づくものであるが、根拠はない。また多くの人はそんな問題は考えたこともない。普通の教科書にもはっきりとした答えは書いていない場合が多い。
電流のエネルギーが電子自体の対流運動で運ばれるのでないとすると、導線中を伝わる電磁波で運ばれるのか、あるいは電子の粗密波で運ばれるのか?
導線中の電磁波とする考えは無理がある。なぜなら、完全導体の場合、導体中の電場は0であり、電磁波は伝わりようがないからである。電子の粗密波だとすると、それは音波の一種であり、先に述べたようにフェルミ速度の程度で、とても光速には達しない。
このことから電流のエネルギーは、空間中を運ばれると考えざるを得ない。もっともこの問題に対する解答は、先に引用したWikipediaには、はっきりと書いてある。再度その部分を引用する。

in an electric transmission line the energy flows as fields in the space surrounding the wires, and does not flow inside the metal.

この問題をネットで調べると、結構色々と見つかる。

Electricity Misconceptions

ここでは著者のWilliam J. Beatyが詳細な議論を展開している。そのなかで、In a simple circuit, where does the energy flow? A Collection of Diagramに詳しい図が示されている。Fig.7 がその解答を与えていて、そのキャプションには次のように書かれている。

Electromagnetic energy flows out of the battery and into the empty space around the circuit. It flows parallel to the connecting wires, then it dives into the resistor. The field of energy flow is found by multiplying the e-field by the b-field (E x B vector cross-product.)

また次のサイトにも同様な記述がある。

Surface charges and the Poynting vector
Energy is transferred through empty space outside the wire

説明文には次のように書かれている。

The essential point is that energy is transferred through empty space around (and NOT in) the wires of an electric circuit via an electromagnetic field called the Poynting field, named after the 19th century English physicist John Poynting.

上のタイトルで述べられているSurface chargeはまた物議を醸すのであるが、それについては後で述べる。

 

同軸ケーブル

同軸ケーブルというものがある。これは中心に導線を置き、そのまわりを誘電体で囲み、更にその周りを導体で囲み、更にその周りを誘電体の絶縁体で囲む。
同軸ケーブルは、高周波の電流を通しても外部に電磁波が漏れないようになっている。同軸ケーブルでなく、普通のケーブルを用いると次のような欠点がある。

Open wire transmission lines have the property that the electromagnetic wave propagating down the line extends into the space surrounding the parallel wires. These lines have low loss, but also have undesirable characteristics. They cannot be bent, twisted or otherwise shaped without changing their characteristic impedance, causing reflection of the signal back toward the source. They also cannot be run along or attached to anything conductive, as the extended fields will induce currents in the nearby conductors causing unwanted radiation and detuning of the line.

同軸ケーブルを使うメリットは以下のようである。

Coaxial lines solve this problem by confining the electromagnetic wave to the area inside the cable, between the center conductor and the shield. The transmission of energy in the line occurs totally through the dielectric inside the cable between the conductors. Coaxial lines can therefore be bent and moderately twisted without negative effects, and they can be strapped to conductive supports without inducing unwanted currents in them

同軸ケーブルを通って、電流のエネルギーや信号が運ばれるのだが、それは導体内を運ばれるのではなく、誘電体の内部を電磁波として運ばれるのである。電流のエネルギーや情報は導体の内部ではなく、なんと絶縁体である誘電体の内部を運ばれるのである。実に興味ある、意表を突く話である。

 

今井の教科書

今井の教科書には次の記述がある。コンデンサーと抵抗が繋がった回路を考える。そのなかで次のように述べられている(P256)。「コンデンサーに貯えられた電磁エネルギーは空間を伝わって導線の各部分に流れ込むことになる。導線に沿ってエネルギーが流れるのではない。これはちょっと予想外の事実である。」
** 電磁気学を考える 今井功著、サイエンス社

 

ファインマンの教科書

Feynman lectureには次のように書いてある。

We ask what happens in a piece of resistance wire when it is carrying a current. Since the wire has resistance, there is an electric field along it, driving the current. Because there is a potential drop along the wire, parallel to the surface (Fig. 27-5). There is, in addition, a magnetic field which goes around the wire because of the current. The E and B are at right angles; therefore there is a Poynting vector directed radially inward, as shown in the figure. There is a flow of energy into the wire all around. It is of course, equal to the energy being lost in the wire in the form of heat. So our “crazy” theory says that the electrons get their energy to generate heat because of the energy flowing into the wire from the field outside. Intuition would seem to tell us that the electrons get their energy from being pushed along the wire, so the energy should be flowing down (or up) along the wire. But the theory says that the electrons are really being pushed by an electric field, which has come from some charges very far away, and that the electrons get their energy generating heat from these fields. The energy somehow flows from distant charges into a wide area of space and then inward to the wire.

R. Feynman, R. Leighton and M. Sands, Feynman Lecture on Physics (Addison-Wesley, Reading, MS. 1964), Vol.2, pp.27-28.

 

導体の表面電荷に関する議論

電池と抵抗を導線で結んだ場合、導線は普通は帯電していないと信じられているか、あるいはこの問題には言及されない。先のBeatyの図10には導線が帯電しているように描かれている。
またSurface charges and the Poynting vectorの図には、正にタイトル通り、導線が帯電しているように描かれている。説明には次のようにある。

Electrons, on the other hand, are charged and so exert forces on ALL the other electrons. It turns out that the energy-minimising arrangement is for the electrons to be spread around the surface of the conductor. In other words each electron is as far away as possible from every other electron not just its neighbors.
The negative terminal of a battery tends to push extra electrons onto any wires it's connected to. These extra electrons all end up on the surface of the wire.
In a simple DC circuit these surface charges stay static once the circuit is set-up and is running normally. It's the electrons actually inside the wires that move.

次の論文にもある。(Fig.2参照のこと)

Energy transfer in electrical circuits: A qualitative account
Igal Galili and Elisabetta Goihbarg, Am. J. Phys. ‘3 (2), February 2005

アブストラクトには次のように書かれている。

We demonstrate that the use of the Poynting vector for a model of the surface charge of a current carrying conductor can help qualitatively explain the transfer of energy in a dc closed circuit. The application of the surface charge model to a simple circuit shows that electromagnetic energy flow from both terminals of the battery, mainly in the vicinity of the wires (and not inside them) to the load where it enters and is converted into heat at a rate obtained Ohm’s law.

表面電荷に関する文献はいろいろある。

On the theory of the electric field and current density in a superconductor carrying transport current
W.J. Carr, J. NuMat2000

Calculation of the surface charge on a circular type-II superconducting wire carrying transport current
W.J. Carr, Physics C: Superconductivity, Vol 402, Issue 3, 15 feb. 2004, PP.293-301

Surface Charge Density gradient causes electric field parallel to wire, necessary for constant I

これは大学の講義ノートであるようだ。正にタイトル通りの主張がなされている。次の論文もある。

A calculation of the surface charges and the electric field outside steady current carrying conductors
N Sarlis , G Kalkanis , C A Londos , S S Sklavounos and P Tsakonas, European Journal of Physics Create an alert RSS this journal Volume 17, Number 1

The surface charges and the electric field outside steady current carrying conductors has been for long the subject of many investigations. It turns out that both quantities strongly depend on the configuration of the circuit. In this work an attempt to distinguish and clarify the essential factors of this dependence is presented. To this end, a simple, three-dimensional model is proposed and quantitative results are derived which are in agreement with experimental data. In addition, the existence of electric fields outside current carrying conductors and their behaviour can be easily demonstrated in class by recourse to the model, with the help of a computer program, thus avoiding inconvenient or dangerous experimental set-ups.

 

私の考察:電流のエネルギーは空間中を運ばれる。導体中ではない。

ポインティングベクトルとポインティング定理

電流のエネルギーが導線中ではなく、空間中を運ばれることはPoynting theoremから言える。ポインティングの定理とは次のようなものである。

ここでuは空間中に蓄えられた電磁場のエネルギー、Sはポインティングベクトルでエネルギーの流れ、Jは電流である。この式の意味するところは、ある微少体積中の電磁エネルギーの時間変化は、そこでのジュール熱への変換による減少と、外部からのポインティングベクトルによるエネルギーの輸送で決まるということである。

Poynting’s theorem
Poynting vector

上記のポインティングの方程式を積分形に書く。

電池と末端抵抗とそれらを結ぶ完全導体の導線を考える。積分範囲は電池を除く全空間とする。定常的な場合を考えると、左辺第1項は0とおいて良い。右辺のジュール熱によるエネルギー散逸は抵抗の内部でのみ起きる。この失われたネルギーは左辺第2項のポインティングベクトルによるエネルギー輸送によりまかなわれる。このエネルギー輸送は空間中に存在するのであり、導線中ではない。なぜなら完全導体の内部は電場は0であり、ポインティングベクトルは存在しないからである。
直流の場合は外部に逃れるエネルギーは0である。交流の場合は外部に電波としてエネルギーを失うことはある。いずれにせよ、この失われたエネルギーを供給するのは電池のみである。つまり電池の両端からポインティングベクトルの形で空間に出たエネルギーは、空間を通して抵抗に到達してそこで散逸される。あるいは無限遠に逃げる。

Poynting vectorの向く方向

完全導体の内部では電場は0である。導体表面の境界条件によれば、電場の接線成分は連続である。ということは完全導体の表面では電場の接線成分は0である。法線成分は存在する。磁場に関しては電流が導線周りを取り囲むような磁場を発生させる。つまり磁場の接線成分は存在する。法線成分は0である。このことから、ポインティングベクトルは導体表面に平行であることが分かる。つまり電磁場のエネルギーは完全導体の内部には流れ込めない。これは、完全導体の内部ではジュール損失がないので当然である。
一方、導体に抵抗が存在する場合、導体内部に(弱い)電場ができる。この電場が電子を駆動して電流を流す。導体表面での境界条件から、導体表面には導体に接する方向の電場が存在する。するとポインティングベクトルの方向は、導体内部に向かう成分を持つ。つまり外部空間からエネルギーが導体内部に流れ込む。このエネルギーがジュール損失で失われるのである。
上記のWikipediaでは次の記述がある。

The Poynting vector in a coaxial cable

For example, the Poynting vector within the dielectric insulator of a coaxial cable is nearly parallel to the wire axis (assuming no fields outside the cable) ? so electric energy is flowing through the dielectric between the conductors. If the core conductor was replaced by a wire having significant resistance, then the Poynting vector would become tilted toward that wire, indicating that energy flows from the electromagnetic field into the wire, producing resistive Joule heating in the wire.

ポインティングベクトルは電磁波におけるエネルギーの流れとされており、交流のケースでは問題ない。しかし直流回路の場合、ポインティングベクトルがエネルギーの流れを表すかどうかに関しては議論がある。
上記のWikipediaにおいては以下の記述がある。

DC Power flow in a concentric cable

Application of Poynting's Theorem to a concentric cable carrying DC current leads to the correct power transfer equation P = VI, where V is the potential difference between the cable and ground, I is the current carried by the cable. This power flows through the surrounding dielectric, and not through the cable itself.[7]
However, it is also known that power cannot be radiated without accelerated charges, i.e. time varying currents. Since we are considering DC (time invariant) currents here, radiation is not possible. This has led to speculation that Poynting Vector may not represent the power flow in certain systems.[8][9]

しかし文献(9)によれば、問題ないとされている。

Poynting’s vector: Comments on a recent paper by Clark Jeffries
F.N.H. Robinson, SIAM Review, Vol.36, No.4, pp.633-637, December 1994

Abstract: Poynting’s theorem, and the use of Poynting’s vector to express the transfer of energy from one part of a system to another in term of the electric field E and the magnetic field H are shown to follow directly from Maxwell’s equation and to be applicable to steady state situations (such as a lamp connected to a battery) as to radiation.

 

導体の表面電荷は存在する

電池と終端抵抗を導線が結んでいる場合を考える。導線の形状により、答えは色々になりうる。ここでは概念的なことを考えるために、回路の形はロの形で、かつ横に長いとする。この場合の外部電磁場の計算をするのは簡単ではない。解析的に簡単に計算できるのは、無限遠の長さの同軸ケーブルの場合である。これについては様々な本で述べられている。回路がトーラス形状の場合は、複雑ではあるが解析的に解くことか出来る。これについては後に述べる。
電池の陰極に繋がった導線を陰極のそばで接地して、そこの電位を0とする。まず導線が完全導体の場合を考える。この場合、陽極に繋がった導線の電位は一様でV、陰極に繋がった導線の電位は0である。電位降下は末端の抵抗の中で生じる。電池内では電位は上昇する。
陽極に繋がった導線と陰極に繋がった導線の間には電位差Vがある。だから両導線の間の空間には電場がある。電場の強さと形状は、回路の具体的な形状に依存するが、ここでの議論では、それは重要でない。重要なことは、空間に電場Eが存在するということである。また電流が流れていれば、導線を囲むように磁場が存在することも明白である。
物体表面での電磁場の境界条件を書くと

ここでnは物体表面の法線ベクトル、Σは表面電荷密度、Kは表面電流密度、cは導体を表す。 である。
さて完全導体の内部には電場は存在しない。ところが導体外部には電場は存在する。すると始めの境界条件から、導体表面には電荷密度が存在しなければならない。第4の式は電場の接線成分が連続であることを意味する。導体内部の電場が0とすると、導体表面の電場の接線成分は0である。
導線の電気伝導度が有限である場合、導線内部には導線と平行に弱い電場が存在する。だから導線表面にも、それと平行な電場成分がある。垂直な成分はもちろんある。いずれにせよ、等電位面は導線表面で鋭く折れ曲がる。このことは、表面電荷の存在を要求する。
この問題を無限長の形状ではなく、有限の形状の場合に解析的に解いた論文がある。

Surface Charges and External Electric Field in a Toroid Carrying a Steady Current
J.A. Hernandes and A.K.T. Assis, Brazilian Journal of Physics, Vol.34, no.4B, Dec. 2004

問題はFig.1のようなトーラス形状の導体を考える。電池は図のBatteryの位置にあり、電池の厚みは無限小であるとする。導体の電気伝導度は一様と仮定し、電位は角度に沿って線形的に降下するとする。

その場合の電場分布をFig.2に示す。ここではz=0の平面上での等電位面が示されている。予想されるように、等電位面は導体の内部では、導体の角度方向の線に垂直で、その間隔は等しい。電池の厚みが無限小であることから、等電位面は電池の付近で混んでいる。電場の分布が分かると、それから導体表面の電荷分布を計算できる。Fig.4はトーラスが薄いとした場合の電荷分布を示す。


 

議論と結論

電流の水流モデルは適切か、電流の速さとはなにかから始まって、ずいぶんいろんな事を調べた。その結果分かったことは

1.電子の速さはドリフト速度で、これは極めて小さい。しかしスイッチをつけた影響は光速に近い速度で伝わる。したがって電流の速さは光速に近い速度であるというのが適切である。

このことは調べた文献の多くに書かれているのだが、その理由が明記されていない。スイッチの影響が電線の中を光速で伝わるのか、あるいは空間を伝わるのか。本論で引用した文献はそのことを明記しているが、あくまで少数派であり、多くの教科書には述べられていない。多分、誰も余り考えたことがないのであろう。

2.電流のエネルギーは、電磁場のポインティングベクトルの形を取り、空間を伝わる。これは交流でも直流でも同じである。発電所から我々の家庭に電気が届けられるが、発電所から電子が来るわけではない。通常の電気は交流だから、これは少し考えれば分かる。しかし多くの人は、電気のエネルギーはあの細い電線の中を運ばれてきたと思っている。違うのである。電線とアースの間の空間を一種のむ電磁場の波としてやってきたのだ。
電磁気学において電磁場が本質的であるということは、電磁気学を学んだ人間は言葉としては知っている。しかし体感としては知らない。

子供向きの本「発明発見物語全集4電気」板倉聖宣編、国土社のファラデーの項を読んだときに、なるほどと思った。ファラデーは直感の人である。彼の論文には数式はない。そもそも彼はまともな教育を受けていない。ファラデーのイメージは、電磁気現象とは空間を満たすゴム紐のなせる技だというのだ。マクスウエルはファラデーのこのような直感的イメージをきちんと数式にすることに成功した。彼も電磁場に対して、独特の直感的イメージを持っている。しかしマクスウエル方程式を学ぶ我々は、その数学形式だけを学び、ファラデーたちの持つ直感的イメージを持たないか、馬鹿にしている。

ファラデー的イメージでいえば、電線に繋がるスイッチを入れると、空間がピンと緊張するのである。もしスイッチが電灯のそばにある場合、スイッチを入れた瞬間に電灯がともることは理解できる。電灯近くの、すでに緊張している空間のエネルギーが解放されて、光のエネルギーに変わるのだ。しかし低下した電位差を補うのは何なのか。電池から電子がエッチラやってきたのでは間に合わない。緩んだ空間は、電池のそばの空間の緊張が光速でやってきて補われるのだ。

スイッチが電池のそばにある場合を考える。このときは導線間の空間はまだたるんでいる。スイッチが入ると、電池のそばの空間がピンと緊張する。つまり電場が誘起される。その電場は電線内の電子を動かす。そして電線の内部に電流が誘起される。その電流は磁場を作る。電場と磁場は合わさって電磁波となり、電磁波は光速で空間を伝わり、電磁波に接する導線中に次々と電流を誘起し、電灯の所まで来る。そしてそこに電位差を作り出し、抵抗内に電流を誘起して電灯をともすのである。

たとえば小学校の校庭に並んだ生徒を先生が整列させる場合を考えよう。先に述べたトコロテンモデルでは、先生は先頭の生徒に小声で右向け右という。その生徒は右を向き、かつ後ろの生徒に右向け右という。こうして生徒が前から順に右を向いていく。電磁波モデルでは、先生は大声で右向け右という。その指令は音波となって伝わり、生徒はほぼ一斉に右を向く。電流の速度が速いのはこんな訳である。